Dr. Vladislav Apostolyuk

Research & Developments

Всем, сезонно греющим воду на плите, посвящается

Возник как-то у одной совершенно фантастической хозяйки резонный вопрос: "а что быстрее — довести мало воды до кипения, а потом разбавить до нужной температуры, или сразу нагреть до нее нужное количество воды?". Те, кто уже знает ответ на этот вопрос, может дальше не читать. Для остальных ответим на него с позиции современной науки. 

"В результате не сложных, но громоздких преобразований" (если вы понимаете о чём я) нам необходимо из начального количество воды `m` температуры `T_1` получить то же самое количество, но уже гораздо более приятной для тела температуры `T`. Сравним два подхода к добыванию теплой воды с точки зрения "что побыстрее":

  • Нагреть количество воды `m` от температуры `T_1` до `T`
  • Нагреть часть воды (`m_2`) от температуры `T_1` до `T_2`, которая больше `T` (`T_2 > T`), а потом разбавить ее оставшейся и все еще холодной водой (`m_1`)

Внимательному читателю очевидно, что первый вариант это тоже второй, но когда горячей воды нет совсем (`m_2 = 0`, `T_2 = T`). При этом

`m = m_1 + m_2 = m_1 (1 + R)`,

где `R = (m_2)/(m_1)` - это отношение количества горячей воды к количеству холодной, которое хорошо тем, что всегда можно записать

`m_1 = m/(1 + R)`,  `m_2 = (m)/(1 + R) R`.

Температура воды при нагревании нарастает линейно, пропорционально времени и обратно пропорционально количеству. Другими словами, чем больше воды — тем дольше греть. Еще более другими словами это можно записать в виде уравнения:

`T_2 = T_1 + (k)/(m_2) t`.

На `k` внимание не обращаем — это просто такой коэффициент, который делает это уравнение научно-правильным. Наконец, когда мы воду нагрели до очень горячей температуры `T_2`, ее надо смешать со все еще холодной водной в количестве `m_1`. При этом мы такие расчетливые, что результирующая температура будет как раз нужной температуры:

`T = (m_1 T_1 + m_2 T_2)/(m_1 + m_2)`.

Кроме холодной воды, намешаем в это уравнение все, что мы знаем про температуру `T_2` и время нагрева до нее, а также то, как количество холодной и горячей воды зависит от отношения `R` и общего количества воды `m`. В результате получается самое большое и грозное с виду уравнение нашего исследования:

`T = (m/(1 + R) T_1 + (m R)/(1 + R) (T_1 + (k (1 + R))/(R m) t))/(m/(1 + R) + (m R)/(1 + R))`.

Но если домножить числитель и знаменатель на `(1 + R)`, да вынести за скобки и сократить `m`, то грозного вида поубавится и останется всего ничего:

`T = T_1 + k/m t`.

Что же мы получаем в результате стольких преобразований? А получили мы все тот же нагрев требуемого количества воды до нужной температуры. Мешай, не мешай, а время нагрева зависит только от начальной температуры и нужного количества воды. В общем как хотите, так и грейте.

 

P.S. Просто захотелось испробовать систему редактирования и демонстрации формул  

P.P.S. Фантастическая хозяйка еще и отличный редактор, кстати :)